26septembre 2011: Le 2 ème Zouaves à la Bataille de Charleroi.(Jean-Pierre Brochard) 8 septembre 2011: Un des plus grands poètes de la Grande Guerre combattit à Anvers en octobre 1914. 31 août 2011: Le lieutenant Kerf à l'assaut de la ferme Violette le 30 septembre 18. 19 août 2011: Auguste Javaux, fusillé à Hasselt.(Pierre Javaux) Ila ainsi complété le Grand Chelem de son club, qui a désormais atteint dans son histoire le dernier carré de la C1 (2010), de feu la C2 (1964) et de la C3. Lejournal des descendants de Robert LE MA IQUE Les attentats du 13 novembre : vos réactions Echange Caen-Verdun : 14e édition N° N° N° 5 5 5 Tout ce qu’on ne vous avait pas dit sur vos smartphones roman photo, 1ère partie Lire p. 12-13 Lire p. 5-8 Lire p. More. Le journal des descendants de Robert LE MA IQUE Les attentats du 13 novembre : vos réactions Echange Fast Money. Dernière mise à jour 15 Février 2022 Définitions Opérations sur les matrices Addition, soustraction Multiplication par un nombre Transposition Multiplication des matrices Inversion des matrices carrées Déterminant d'une matrice carrée Application aux systèmes d'équations linéaires Formulation matricielle Cas d'une matrice régulière Cas d'une matrice singulière I. Définitions Une matrice n × m est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes Exemple avec n = 2, m = 3 n et m sont les dimensions de la matrice. Une matrice est symbolisée par une lettre en caractères gras, par exemple A. On note Aij l'élément situé à l'intersection de la ligne i et de la colonne j la ligne est toujours nommée en premier. On note [Aij] la matrice d'élément général Aij. On a donc A = [Aij] Si m = 1, la matrice est appelée vecteur plus précisément vecteur-colonne Dans ce chapitre, nous utiliserons des lettres majuscules pour les matrices et des lettres minuscules pour les vecteurs, mais ce n'est pas obligatoire. Si n = m, la matrice est appelée matrice carrée. Quelques matrices carrées particulières Exemples avec n = 4 Matrice unité Parfois notée In n est la dimension de la matrice soit I4 dans cet exemple Matrice diagonale notée diagDii Matrice triangulaire supérieure Upper triangular matrix, U Matrice triangulaire inférieure Lower triangular matrix, L Une matrice carrée A est dite symétrique si Aji = Aij pour tout i différent de j II. Opérations sur les matrices Addition, soustraction L'addition et la soustraction des matrices se font terme à terme. Les matrices doivent avoir les mêmes dimensions Multiplication par un nombre Chaque terme de la matrice est multiplié par le nombre Transposition La transposée AT aussi notée A' d'une matrice A est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A La transposée d'un vecteur-colonne est un vecteur-ligne Multiplication des matrices Définissons tout d'abord le produit d'un vecteur-ligne xT par un vecteur-colonne y Ce produit est appelé produit scalaire des vecteurs x et y, noté x y. Les vecteurs doivent avoir la même dimension. Le produit matriciel s'en déduit le produit de la matrice A n × m par la matrice B m × p est la matrice C n × p telle que l'élément Cij est égal au produit scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B. Exemple On a en effet, en effectuant les produits ligne par colonne Propriétés Le produit matriciel est associatif ABC = ABC = ABC distributif par rapport à l'addition AB + C = AB + AC non commutatif AB n'est pas égal à BA en général. La matrice unité I est élément neutre pour la multiplication AIm = InA = A, si la matrice A est de dimensions n × m. Transposée d'un produit ABT = BTAT Attention au changement d'ordre !. Quelques produits particuliers x et y sont des vecteurs-colonnes, A est une matrice Inversion des matrices carrées Une matrice carrée A est dite inversible ou régulière s'il existe une matrice carrée A-1 appelée matrice inverse telle que A × A-1 = A-1 × A = I Si A-1 n'existe pas, la matrice A est dite singulière Propriétés A-1-1 = A AT-1 = A-1T AB-1 = B-1A-1 Attention au changement d'ordre ! [diagDii]-1 = diag1/Dii La matrice A est dite orthogonale si A-1 = AT Déterminant d'une matrice carrée Pour une matrice 2 × 2, on montre que la matrice inverse est donnée par Le nombre ad - bc est appelé déterminant de la matrice A, noté La matrice inverse A-1 n'existe donc que si det A est différent de zéro. La matrice A est singulière si det A = 0, régulière dans le cas contraire. Ce résultat se généralise à une matrice de dimension quelconque. Propriétés des déterminants detAT = detA detAB = detA × detB Le déterminant d'une matrice triangulaire ou diagonale est égal au produit des éléments diagonaux. En particulier, detI = 1 si I est la matrice unité Si A est régulière, detA-1 = 1 / detA puisque detAA-1 = detA × detA-1 = detI = 1 Si A est orthogonale, detA = ±1 puisque detAAT = [detA]2 = detI = 1 III. Application aux systèmes d'équations linéaires Formulation matricielle Un système de n équations linéaires à n inconnues est de la forme a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 .................................................... an1x1 + an2x2 + ... + annxn = bn où les aij sont les coefficients du système, les xi les inconnues et les bi les termes constants. Un tel système peut s'écrire sous forme matricielle Ax = b avec Cas d'une matrice régulière Si la matrice A est régulière, on a, en multipliant à gauche par A-1 A-1Ax = A-1b Soit x = A-1b Exemple Soit le système de 2 équations à 2 inconnues 2x1 + 3x2 = 9 x1 - x2 = 2 On a successivement Soit x1 = 3, x2 = 1. Cas d'une matrice singulière Lorsque la matrice est singulière, deux cas sont à envisager Système indéterminé S'il est possible d'exprimer p équations en fonction des autres, le système admet une infinité de solutions. On peut retenir le vecteur x qui a la plus faible norme. L'ensemble des solutions forme un sous-espace de dimension r = n - p dans l'espace de dimension n. Le nombre r est le rang de la matrice. Exemple x1 + x2 = 3 2x1 +2x2 = 6 Le déterminant vaut 1 × 2 - 1 × 2 = 0. La matrice est bien singulière. La deuxième équation est égale à la première multipliée par 2. Il n'y a en fait qu'une seule équation x1 + x2 = 3. C'est l'équation d'une droite espace de dimension 1 dans le plan x1, x2. La matrice est de rang 1. Système impossible Si les équations ne peuvent pas être exprimées les unes en fonction des autres, le système n'admet aucune solution. On peut cependant calculer un vecteur x tel que la norme du vecteur Ax - b soit minimale bien que non nulle. Ce vecteur constitue la meilleure approximation de la solution au sens des moindres carrés voir les cours de Statistiques. Exemple x1 + x2 = 3 2x1 +2x2 = 8 La deuxième équation divisée par 2 donnerait x1 + x2 = 4, ce qui est incompatible avec la première équation. Le système n'a pas de solution.

affiche à la gloire de jean corentin carré